Ernest Bartnik Mechanika Kwantowa wykĹad

[ Pobierz całość w formacie PDF ]

4�� |r|
bierzemy przybliżenie WKB, a funkcję falową brutalnie maltretujemy żeby zanikała na brzegach, przybliżając
ją sinusem:
x1
1
(sin( dypE(y))
n
un(x) = x ,
pE(x)
x1
1
sin2( dypE(y))
1
n
2(x) = ( x = .
pE(x)
pE(x)
Dalej rozwiązujemy w trzech wymiarach:
unl(r)
�nl(r) = ,
r
u2
nl
(r) = ,
r2
2(l + 1/2)2
(r) = 2�(E - V (r)) + ,
2�r2
4� drr2 nl(r) = 1.
19 Metoda Hartreego-Focka
44
Mamy atom wapnia Ca, gdzie Z = 22. Z rozwiązania równania Schr�dingera dostajemy równania różniczkowe
22
66 zmiennych (22p+ + 22n + 22e-).39 Trzeba znalezć taki sposób, żeby zagadnienie było rozwiązywalne. Pole od
elektronów uśrednia się, tworząc sferycznie symetryczny potencjał efektywny. Z potencjału zaś można wyliczyć
funkcję falową unlm, natomiast elektrony uśrednić. Postępując w ten sposób otrzymamy rozmytą gęstość elek-
tronów, a to jest przydatne przy analizie rozmieszczenia elektronów na poziomach energetycznych.
Veff(r) �! unlm(r, �, �) = unl(r)Ylm(�, �).
mamy poziomy energetyczne, każdy
n,l poziom n zdegenerowany jest (2l + 1)-krotnie
Ze2
4��r
39
problem mało przyjemny do rozwiązania.
MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki 69
Gęstość prawdopodobieństwa nlm(r, �, �) otrzymuje się: tot = nlm. Ten sposób zwie się metodą
nlm n,l,m
Hartreego. Model ten nie zawsze się sprawdza, bo pomija antysymetryzację (otrzymana w wyniku funkcja falowa
nie jest antysymetryczna). Fock jednak wymyślił procedurę antysymetryzacji. Jednak w przypadku dużej liczby
elektronów jest on bliski przypadkowi klasycznemu i można stosować przybliżenie WKB.
Rozwiążemy teraz problem ściśle:
l l
"
nl(r) = |unlm(r, �, �)|2 = u2 (r) Ylm(�, �)Ylm(�, �).
nl
m=-l m=-l
Przy czym: to kawałek, który zależy od dynamiki. Z głębokiej analizy harmonik sferycznych wynika:
l
4�
"
Ylm(�1, �1)Ylm(�2, �2) = Pl(cos �12).
2l + 1
m=-l
z
y
�2
�1
x
l
2l + 1
"
Ylm(�, �)Ylm(�, �) = Pl(1) .
4�
m=-l
Oglądamy funkcję tworzącą:
"
T (w, s) = (1 - 2sw + s2)1/2 = Pl(w)sl.
l=0
T (w, 0) = P0(w) = 1,
T (w, 0) = P1(w).
Ten sposób pozwala na policzenie wszystkich wielomianów Legendre a. Dla w = 1:
"
1
T (1, s) = (1 - s)2(-1/2) = = sl = Pl(1)sl.
1 - s
l=0 l
Z tego wynika, że dla wszystkich wielomianów Legendre a Pl(1) = 1.
2l + 1
nl(r) = u2 (r) .
nl
4�
1 2�
nl(r) = d cos � d� nl = 4� nl = (2l + 1)unl2(r).
�
-1 0
Jak normalizować �l? Warunek normalizacji:
MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki 70
drr2 nl(r) = 2
�
Szukamy unl(r):
2 1 d 2l(l + 1)
- (r2u2 ) + (V (r) + )unl = Enlunl.
nl
2� r2 dr 2�r2
anl(r)
Niech unl = . Wówczas:
r
2 2l(l + 1)
- a + (V (r) + )anl = Enlanl,
nl
2� 2�r2
1/2
2l(l + 1)
pnl(r) = 2�(E - V - ) ,
2�r2
r
1 1
anl(r) = sin drpnl(r) .
pnl(r)
r0
1
Zastępujemy wyrażenie l(l + 1) przez (l + )1/2 = z2. Wówczas:
2
l
2z
"
nlY Y = nl
�
r2 nl(r)
m=-l
" " "
c 1
d3r nl(r) = 2 = 4� drr2 nl(r) = 4� drr2 = 4�c dr ,
nlr2 nl
0 0 0
1
c = ,
dr
2�
nl(r)
nl(r) = 2z nl(r),
�
Wprowadzamy teraz Rnl(r) := 00 + n1 + n2 + . . .
dRnl
�
= nl,
dn
r2
2 dr nl(r) = 2� n = 0.
r0
dr
"F
-2 (2�)1/2 dr
dn �
nl
"E
= - = = ,
"F
dE -2� � nl(r)
"n
dRnl(r) dR dn m 1
= = .
dE dn dE 2�2 r2 nl(r)
l=m
Rn(r) = Rnl(r)
l=0
dRnl dRnl
dE dE
1 3/2
nl
Rn
r2 nl(r) 3�2 3
1
R(r) = (2�(-V (r)))3/2.
3�2 3
Skąd wziąć V (r)? V (r) składa się z potencjału jądra i ujednoliconego potencjału e-, który można dostać z
równania Laplace a:
1
"2V = 4�R.
e
MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki 71
1 d dV 4e2(-2�V )3/2
- (r2 ) = .
er2 dr dR 2� 3
Ze2
V = - �,
r
V = b�.
�(0) = 1, �(") = 0.
1 3� 2 0.885a0
b = = .
2 4 meZ1/3 Z1/3
Wymiar atomów rośnie proporcjonalnie do Z1/3.
20 Obraz Heisenberga, Diraca i Schr�dingera
20.1 Przypomnienie
�
1. Wartość średnia: �|A|� . Wielkością własną jest kombinacja liniowa wektorów i operatorów.
�
2. Równanie własne: A|�� = �|�� .
3. Prawdopodobieństwo znalezienia stanu � = |� w stanie |� jest następujące: p = | �|� |2.
20.2 Obrazy
Obraz Schr�dingera: zależne od czasu są wektory (funkcje falowe):
�
a (t) = �(t)|A|�(t) . (168)
Abstrakcyjne równanie Schr�dingera:
d
i |�(t) = $|�(t) .
dt
i$t
|�(t) = e- |�(t = 0) , (169)
czyli:
|�(t) = U(t)|�(0) .
Podstawiając równanie (169) do (168) otrzymujemy:
i$t i$t
a (t) = e- �(0)|Ae- |�(0) ,
i$t i$t
a (t) = �(0)|e Ae- |�(0) . (170)
Jest to uniwersalny wzór w obrazie Heisenberga. Można go zapisać w ogólnej postaci:
�
a (t) = �(0)|A(t)|�(0) . (171)
i$t i$t
�
A(t) := e Ae- .
Idea obrazów jest następująca: W obrazie Heisenberga podstawowe są operatory, natomiast w obrazie Schr�dingera
podstawowymi są funkcje falowe. Zależne od czasu są zaś właśnie rzeczy podstawowe. Obraz Diraca jest obrazem
pośrednim: jest w nim trochę ewolucji czasowej w operatorach, a trochę w funkcji falowej.
MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki 72
20.2.1 Przykład pierwszy: cząstka swobodna
p2
Hamiltonian: H = . Rozważmy operatory � oraz p:
r �
2m
ip2 ip2
t t
2m 2m
� = e � ,
r(t) re-
ip2 ip2
t
2m 2m
� � �
p(t) = e pe- t = p.
W obrazie Heisenberga dla cząstki swobodnej p nie zmienia się w czasie (powtarza to wynik mechaniki klasy-
cznej). Fakt ogólny:
� � �
[B, $] = 0 �! B(t) = B.
Wynika z tego faktu ogólny wzór:
i
� = � + [H, r(0)]t + . . .
r(t) r(0)
i p2 p
Ponieważ [ , r] = , to w obrazie Heisenberga mamy ruch swobodny (bowiem wyższe komutatory się
2m m
zerują):
p
r(t) = � + t.
r(0)
m
d�(t)
Pytanie: jakie równanie spełnia pochodna: =?
dt
d�(t) i 1
� � �
= ($A(t) - A(t)$) = [A(t), $].
dt i
Równanie to jest odpowiednikiem równania Schr�dingera.
�
dA(t) 1
�
obraz Heisenberga: = [A(t), $],
dt i
d|�(t) 1
obraz Schr�dingera: = H|�(t) .
dt i
dr(t) p
1
Obraz Heisenberga najbliżej łączy kwantowy opis z klasycznym. Ponieważ: = [r(t), H] = , to:
dt i m
p
r(t) = t + �
r(0).
m
20.2.2 Przykład drugi: oscylator jednowymiarowy
p2 m�2
�
$ = + x2
�
2m 2
dx(t) 1 p(t)
� �
= [x(t), H(t)] =
�
dt i m
dp(t) 1
�
= [p(t), H(t)] = -m�2x(t)
� �
dt i
p(0)
�
x(t) = x(0) cos(�t) + sin(�t)
�
m�
p(t) = -m�x(0) sin(�t) + p(0) cos(�t)
� �
1 ip(0)
�
x(t) = (x(0)(ei�t + e-i�t) - (ei�t - e-i�t) =
�
2 m�
1 ip(0) 1 ip(0)
� �
= (x(0) - )ei�t + (x(0) + )e-i�t = (� ei�t + �e-i�t) = (� (t) + �(t))
� �
2 m� 2 m� 2m� 2mw
d�(t) �
= [a(t), a (t)a(t)] = -i��(t)
dt i
d� (t)
= i�� (t)
dt
MECHANIKA KWANTOWA Notatki z wykładów E.A. Bartnika made by E. Słomińska & R.P. Kostecki 73
20.2.3 Przykład trzeci: oscylator jednowymiarowy z siłą wymuszającą
dx(t) p(t)
=
dt m
dp(t) p2 m�2
�
= -m�2x(t)f(t) = + x2 - xf(t) = H(t)
dt 2m 2
i t i
e- dtH = e- Ht
d i t
i i
e- dtH = - $(t)e- Ht
dt
(t+"t)
i i t i t
dtH(t)
0 0 0
e- - e- dtH(t) = e- dtH(t)
21 Jeszcze raz problem oscylatora
Dany jest oscylator jednowymiarowy, zaburzony siłą zależną od czasu.
Pytanie: Jakie jest prawdopodobieństwo, że układ będzie znajdował się w stanie podstawowym?
Hamiltonian dla układu przybiera postać:
p2 m�2q2
$ = + - q f(t), (172)
2m 2
gdzie wykres siły f w funkcji czasu wygląda następująco:
f(t)
t [ Pobierz całość w formacie PDF ]

Odnośniki